Более точным способом отображения тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, то есть выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции (тренда), в которой в качестве основного фактора принимается время , и изменения аргумента функции определяют расчетные значения .

Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, то есть данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются . Расчетными (или теоретическими) уровнями ряда называют значения , полученные в результате подстановки в уравнение тренда значений .

Рассмотрим основные формы тренда.

1. Линейная форма тренда:
где уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой,
начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени ;
среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени),
константа тренда.

Линейный тренд выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

2. Параболическая форма тренда:
где квадратический параметр, равный половине ускорения: константа параболического тренда. Остальные обозначения прежние.

Параболическая форма тренда выражает ускорение или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускорением.

3. Экспоненциальная форма тренда:
где изменения в разах; константа тренда.

Если , то экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней. При , экспоненциальный тренд означает тенденцию замедляющегося снижения уровней динамического ряда. Экспоненциальные формы тренда применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста). Либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.).

После теоретического исследования особенностей разных форм тренда необходимо обратится к фактическому ряду динамики, тем более что далеко не всегда можно надежно установить, какой должна быть форма тренда из чисто теоретических соображений. По фактическому динамическому ряду тип тренда устанавливают на основе графического изображения, путём осреднения показателей динамики.

На рис.1 достаточно хорошо видно, что тренд урожайности картофеля выражен прямой линией. Исходный ряд уровней короткий, поэтому на данном примере нельзя использовать другие приемы.

Нахождение параметров тренда

Классический подход к оцениванию параметров линейного тренда основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных (теоретических) была бы минимальна.

Пусть тогда

Иными словами, прямая линия на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальна (см. рис. 2).

Рис. 2. График прямой линии.

Обозначим через , тогда

Чтобы найти минимум функции нужно вычислить частные производные по каждому из параметров и , и приравнять их к нулю.

Или после преобразования получим:

где уровень исходного ряда динамики;
номер периода или момента времени;
число уровней ряда.

Решая эту систему методом Крамера, получим искомые оценки и :

Однако если начало отсчета времени перенести в середину ряда, то есть использовать метод условного нуля (центральный член принимается за точку отсчета), то и из последних выражений получим:

Если МНК применить к нахождению параметров параболического тренда, то получим следующую систему уравнений:

После переноса начала отсчета в середину ряда уравнения изменятся:

Из этой системы получим . Для нахождения остальных параметров нужно решить систему:

Опять воспользуемся методом Крамера:

Откуда

Для экспоненциальной формы МНК даёт следующую систему уравнений для нахождения неизвестных параметров:

После переноса начала отсчета в середину ряда получим:

Из последних выражений прослеживается явная аналогия с линейной формой.

Таким образом, целью “аналитического” выравнивания является:

1. определение вида функционального уравнения (определение формы тренда);

2. нахождение параметров тренда;

3. расчет “теоретических”, выровненных уровней, отображающих основную тенденцию ряда динамики.

Графическое отображение изменения уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов.