Очень важно знать закон распределения генеральной совокупности. Часто оказывается так, что закон распределения неизвестен, но имеются основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его ). Выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону . В этом случае гипотеза предполагает вид распределения.

Однако нельзя исключать случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Тогда есть основания сделать предположение о том, что неизвестный параметр равен определённому значению . Выдвигают гипотезу: . Таким образом, эта гипотеза предполагает величину одного параметра известного распределения. Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и многом другом.

Статистической гипотезой – называется любое утверждение о виде неизвестного распределения генеральной совокупности или о параметрах этого распределения, или о параметрах известных распределений. Например, статистическими являются гипотезы: 1. генеральная совокупность распределена нормально; 2. дисперсии двух совокупностей, распределённых по закону Пуассона, равны между собой; В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй – о параметрах двух известных распределений.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматриваются и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы следует различать. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу и обозначают . Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой. Выбор конкурирующей гипотезы определяется условиями поставленной задачи.

Правило, которым руководствуются при отклонении или принятии нулевой гипотезы , называется критерием. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Например. Пусть

Замечание. Правильное решение может быть принято в двух случаях:
1. гипотеза принимается, причём и в действительности она правильная;
2. гипотеза отвергается, причём и в действительности она неверна.

Решение об истинности или ложности нулевой гипотезы, принимается на основе анализа некоторой функции выборки, которая называется статистикой.

Проверка статистических гипотез основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Этот принцип можно реализовать следующим образом. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность – уровень значимости.

Пусть – множество значений статистики , а – такое подмножество, что при условии истинности гипотезы вероятность попадания статистики критерия в равна , то есть . Множество значений статистики можно разбить на два подмножества: подмножество значений статистики, при которых нулевая гипотеза отклоняется и принимается гипотеза , называется критической областью; подмножество значений статистики, при которых нулевая гипотеза не отклоняется, называется областью принятия гипотезы .

Так как гипотеза проверяется путем анализа выборки, полученной из генеральной совокупности, то из-за случайности выборки в результате проверки возможны ошибки. Различают ошибки первого и второго рода. Ошибка первого рода возникает, если будет опровергнута правильная нулевая гипотеза. При ошибке второго рода принимается неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода равна вероятности попадания статистики критерия в критическую область при условии, что верна нулевая гипотеза, то есть, равна уровню значимости :

Вероятность ошибки второго рода можно вычислить по формуле

Критерий, основанный на использовании заранее заданного уровня значимости, называется критерием значимости. Уровень значимости определяет размер критической области . Положение критической области на множестве значений статистики зависит от формулировки альтернативной гипотезы. Например, если проверяется гипотеза , а альтернативная гипотеза формулируется, как , то критическая область размещается на правом (левом) “хвосте” распределения статистики , то есть имеет вид неравенства , где и квантили распределения статистики , при условии что верна гипотеза .

В этом случае критерий называется односторонним, соответственно правосторонним и левосторонним. Если альтернативная гипотеза формируется, как , то критическая область размещается на обоих «хвостах» распределения , то есть определяется совокупностью неравенств и ; в этом случае критерий называется двусторонним.

Замечание. Наиболее часто уровень значимости принимают равный 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).