Нормальное распределение играет исключительно важную роль в математической статистике. Такое распределение наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая нормальное распределение среди других распределений, состоит в том, что оно является предельным, к которому приближаются остальные распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Распределение случайной величины  называется нормальным, если это распределение характеризуется плотностью следующего вида 
где  математическое ожидание , а  среднеквадратическое отклонение ( дисперсия). Таким образом, мы видим, что нормальное распределение описывается двумя параметрами  и  .Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами и . Замечание 1*. Нормированной называют нормальное распределение с параметрами  и  Замечание 2. Генеральная совокупность называется нормальной, если она распределена нормально. Распределение основных статистик, которые вычисляются по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности, связаны с распределением “хи-квадрат”  и Стьюдента  . Распределением с  степенями свободы называется распределение случайной величины , равной сумме квадратов независимых нормально распределенных по закону  случайных величин  , то есть величины 
Плотность этого распределения 
где  – гамма функция; в частности,  Отсюда видно, что распределение “хи квадрат” определяется одним параметром – числом степеней свободы . Замечание 3. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.Распределением Стьюдента с степенями свободы называется распределение случайной величины , равной отношению двух независимых случайных величин  и  , то есть  ,
где имеет нормальное распределение  .Замечание 4. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному распределению.
|
